设(1)若f在定义域D内是奇函数，求证：g·g=1 ；(2)若g=ax且在[1，3]上，f的最大值是，求实数a的值(

题文

设


(1)若f（x）在定义域D内是奇函数，求证：g（x）·g（-x）=1 ；
(2)若g（x）=ax且在[1，3]上，f（x）的最大值是

，求实数a的值
(3)若g（x）=ax²-x，是否存在实数a，使得f（x）在区间I=[2，4]上是减函数？且对任意的x₁，x₂∈I都有
f(x)＞

，如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵f（x）在定义域D内是奇函数
∴f（x）+f（-x）=0


+

=0即

=0
∴g（x）·g（-x）=1
（2）①若a＞1，则f（x）=

在[1，3]上是增函数，则有f(3)=


∴f（x）=

=


∴a=9
②若0＜a＜1，则在[1，3]上是减函数，则有f(1)=


∴f（x）=

=

，解得：a不存在
综上所述：a=9
（3）①若a＞1时，要满足题设，则有g（x）=ax²-x在[2，4]上是减函数。
∴而函数g（x）=ax²-x＞0仅在（-∞，0）上是减函数，
 故a＞1不符合题意
另解：①当a＞1时，可知g（x）=ax²-x在[2，4]上是增函数，而函数y=

是增函数，故f（x）在区间
I=[2，4]上是增函数，与已知矛盾，舍去。
②若0＜a＜1时，要满足题设，则有g（x）=ax²-x在[2，4]上是增函数，并且g（x）>0在[2，4]上成立，
∴

<2，∴a>


要对任意的x₁，x₂∈I都有f(x)＞

，只要求f(x)的最小值大于

的最大值即可。
∵f（x）在区间I=[2，4]上是减函数，
∴

=f（4）=

，

的最大值为a⁰=1
∴

>1，∴a<

，这与a>

矛盾，舍去
综上所述：满足题设的实数a不存在。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设(1)若f（x）在定义域D.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|