已知函数f(x)是奇函数，且满足2f(x+2)+f(-x)=0，当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜)，当x∈(-4，-2)时，f(x)

题文

已知函数f(x)是奇函数，且满足2f(x+2)+f(-x)=0，当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜

)，当x∈(-4，-2)时，f(x)的最大值为-4．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)设b≠0，函数

，x∈(1，2)，若对任意的x₁∈(1，2)，总存在x₂∈(1，2)，使f(x₁)-g(x₂)=0，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)由已知，得2f(x+2)=-f(-x)，
∵f(x)是奇函数，
∴f（x）=-f（-x），
∴2f（x+2）=f(x)，
∴f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)，
∵x∈(0，2)时，f(x)=1nx+ax，设x∈（-4，-2），则x+4∈(0，2)，
∴f(x+4)=ln(x+4)+a(x+4)，
∴x∈(-4，-2)时，f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4)，
所以，

，
∵x∈(-4，-2)，∴-4ax＜4+16a，
∵

，∴

，
又由

，可得

，
∴f(x)在

上是增函数，在

上是减函数，
∴

，
∴ a=-l。
(Ⅱ)设f(x)的值域为A，g(x)的值域为B，则由已知，对于任意的

，总存在

，
使得

得

，
由(Ⅰ)知，a=-1，
当x∈(1，2)时，

，
∵x∈(1，2)，
∴f'(x)＜0，f(x)在x∈(1，2)上单调递减函数，
∴f(x)的值域为A=(ln2-2，-1)，
∵g'(x)=bx²-b=b(x-1)(x+1)，
∴(1)当b＜0时，g(x)在(1，2)上是减函数，
此时，g(x)的值域为

，
为满足

，又

，∴

，即

。
(2)当b＞0时，g(x)在（1，2）上是递增函数，
此时g(x)的值域为

，
为满足

，又

，则

，
∴

。
综上可知，b的取值范围是

。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)是奇函数，且.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|