已知函数f=ex，，x∈R，a>0。判断函数g的奇偶性，并说明理由；求函数g的单调递增区间

题文

已知函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），

，x∈R，a>0。
（1）判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数g（x）的单调递增区间；
（3）证明：对任意实数x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式

成立。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵函数g（x）的定义域为R，
且g（-x）=f（-x）-f（x）+





 ∴函数g（x）是奇函数。
（2）g'（x）=








当a=1时，g'（x）=e^-x（e^x-1）²≥0当且仅当x=0时等号成立，
故 g（x）在R上递增；
当0＜a＜1时，

，
令g'（x）>0得

或e^x＜a，
故g（x）的单调递增区间为（-∞，lna）或（-lna，+∞）；
当a>1时，

，令g'（x）>0得e^x>a或


故g（x）的单调递增区间为（-∞，-lna）或（lna，+∞）。
（3）不妨设x₁>x₂，






令

，则只需证


先证

，由（2）知

在R上递增，
∴当x>0时，g（x）>g（0）=0，
∴

，从而由x>0知

成立；
再证

，即证


令

，则


是减函数，
∴当x>0时，h（x）＜h（0）=0，
从而

成立
综上，对任意实数x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式


成立。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex（e为.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|