已知定义在R上的函数f满足f=，且对于任意实数x，y，总有f·f= f+f成立。求f的值，并证明

题文

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=

，且对于任意实数x，y，总有f（x）·f（y）= f（x+y）+f（x-y）成立。
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）定义数列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求证：数列{a_n}为等比数列。

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）令x=1，y=0，
得f（1）·f（0）=f（1）+f（1），
又f（1）=

，则f（0）=2，
令x=0，得f（0）·f（y）=f（y）+f（-y），
则f（y）=f（-y），又f（x）定义在R上，
故f（x）为偶函数；
（Ⅱ）a_n+1=2f（n+2）-f（n+1）
=2[f（n+1）·f（1）-f（n）]-f（n+1）
=4f（n+1）-2f（n），
而a_n=2f（n+1）-f（n），
故数列{a_n}是等比数列。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）满足.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|