已知函数f=ln是实数集R上的奇函数 求k的值若函数g=f+sinx是区间[﹣1，1]

题文

已知函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数 （1）求k的值
（2）若函数g（x）=

f（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且

在x

[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程

的根的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（﹣0）=﹣f（0）
即f（0）=0，
则ln（e⁰+k）=0解得k=0，
显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
（2）由（1）得f（x）=x所以


因为g（x） 在[﹣1，1]上单调递减，


在[﹣1，1]上恒成立，


_max=g（﹣1）=﹣1﹣sin1，
只需

，


恒成立，
令


则

解得t

﹣1
（3）由（1）得f（x）=x


方程转化为

=x²﹣2e^x+m，
令F（x）=

（x＞0），G（x）=x²﹣2e^x+m  （x＞0），


F'（x）=

，
令F'（x）=0，
即

=0，得x=e
当x

（0，e）时，F'（x）＞0，F（x）在（0，e）上为增函数；
当x

（e，+

）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+

）上为减函数；
当x=e时，F（x）_max=F（e）=


而G（x）=（x﹣e）²+m﹣e²   （x＞0）


G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+

）上为增函数；
当x=e时，G（x）_min=m﹣e²


当m﹣

，即m＞

时，方程无解；
当m﹣

，即m=

时，方程有一个根；
当m﹣

，即m＜

时，方程有两个根；

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（ex.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|