已知函数是偶函数，a为实常数．求b的值；当a=1时，是否存在m，n使得函数y=f在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[

题文

已知函数

是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
（3）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知可得，

，且函数的定义域为
D=

．
又y=f（x）是偶函数，
故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D，有f（x）=f（﹣x），可得b=0．
因此所求实数b=0．
 （2）由（1）可知，

．
由

的图象，知：
f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数
又n＞m＞0，
∴y=f（x）在区间[m，n]上是增函数．
∴有

，即方程

，2x²﹣2x+1=0，
∵△=4﹣8＜0，
∴不存在正实数m，n，满足题意
（3）由（1）可知，

．


的图象，知f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数
因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m、n同号．
①当0＜m＜n时，f（x）在区间[m，n]上是增函数，有

，
即方程

，2x²﹣2ax+1=0有两个不相等的正实数根，
因此

，解得

．                                                    
②当m＜n＜0时，f（x）在区间[m，n]上是减函数，有

，
化简得（m﹣n）a=0，a=0
综上，实数a的取值范围a=0，或a＞

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数是偶函数，a为实常数．（1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|