题文
函数f（x）=12x2-(a+b)x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R）），A={x|12x2-3x2+1+92≤0}（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；
（Ⅲ）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求3a+b的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）令x2+1=t≥1，则x2=t2-1，f（x）≤0即12x2-3x2+1+92≤0即t2-6t+8≤0，
∴2≤t≤4，所以2≤x2+1≤4，所以x∈[-15，-3]∪[3，15]，
即A=[-15，-3]∪[3，15]，…（5分）
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立也就是f（x）=12x2-(a+b)x2+1+92≥0恒成立，
∵12x2+92≥ax2+1，即ax2+1≤12x2+92，
∵x2+1＞1，
a≤12x2+92x2+1=12×x2+9x2+1=12(x2+1+8x2+1)恒成立，
因为12(x2+1+8x2+1)≥12×28=22，所以a≤22．
…（11分）
（Ⅲ）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，a+b≤12x2+92x2+1=12×x2+9x2+1
得a+b≤22，
由g（x）=ax2-b≤0有解，ax2-b≤0有解，即a≤(bx2)max，
∵b＞0，∴a≤(bx2)max=b3，≥3a． …（14分）
∴a，b满足条件a+b≤223a≤bb＞0所表示的区域，设3a+b=t，b=-3a+t，
根据可行域求出当a=22，b=322时取得．
所以3a+b的最大值为32． …（16分）
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解析
x2+1考点
据考高分专家说，试题“函数f（x）=12x2-(a+b)x2+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
