已知函数f=lnx-ax；若a＞0，试判断f在定义域内的单调性；若f在[1，e]上的最小值为32，求a的值；若f

题文

已知函数f（x）=lnx-ax；
（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求a的值；
（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=1x+ax2=x+ax2…（2分）
∵a＞0，
∴f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数   …（4分）
（II）由（I）可知，f′（x）=x+ax2．
（1）若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（1）=-a=32，
∴a=-32（舍去） …（5分）
（2）若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴[f（x）]_min=f（e）=1-ae=32⇒a=-e2（舍去）…（6分）
（3）若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=32⇒a=-e
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=32
∴a=-e．…（8分）
综上所述，a=-e．
（III）∵f（x）＜x²
∴lnx-ax＜x2
又x＞0，∴a＞xlnx-x³…（9分）
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，
∴h'（x）=1x-6x=1-6x2x∵x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，…（10分）
∴h（x）＜h（1）=-2＜0
即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数
∴g（x）＜g（1）=-1
∴当a≥-1时，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．…（12分）
∴a≥-1

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx-ax；（I）若.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|