题文
设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+1x2（a为实数）．（Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+1x2（a为实数）．
∴当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）．
f(x)=-f(-x)=-(-2ax+1x2)=2ax-1x2…（3分）
（II）∵x∈（0，1]时，f(x)=2ax- 1x2，
∴f′(x)=2a+2x3，
因为f（x）在（0，1]上是增函数，
所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
即a≥-1x3在（0，1]上恒成立，
令g(x)=-1x3，x∈(0，1]，
g（x）在（0，1]上是单调增函数，
所以[g（x）]max=g（1）=-1，
所以a≥-1．…（8分）
（Ⅲ）①当a≥-1时，
由（II）知f（x）在（0，1]上是增函数，
所以[f（x）]max=f（1）=-6，
解得a=-52，与a≥-1矛盾．…（10分）
②当a＜-1时，
令f'（x）=0，x=3-1a∈(0，1]，
当x∈(0，3-1a )时，
f′(x)=2(a+1x3)＞0，f（x）是增函数，
当x∈(3-1a，1 )时，
f′(x)=2(a+1x3)＜0，f（x）是减函数．
所以[f(x)]max=f(3-1a)=-6，
即2a3-1a-1(3-1a)2=-6，
解得3-1a=22，a=-22．
综上，存在a=-22，
使得当x∈（0，1]时，
f（x）有最大值-6．…（14分）
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解析
1x2考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
