题文
已知函数f（x）=x2（x-a）+bx（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b=a+103，函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若b=0，不等式f(x)x+1nx+1≥0对任意的x∈[12，+∞)恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）若a=3，b=l，则f（x）=x3-3x2+x，∴f′（x）=3x2-6x+1∴f′（1）=3×12-6+1=-2，f（1）=-1
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1；
（Ⅱ）∵b=a+103，∴f（x）=x3-ax2+（a+103）x，∴f′（x）=3x2-2ax+a+103
∵函数f（x）在（1，+∞）上既能取到极大值又能取到极小值，
∴4a2-12(a+103)＞02a6＞13-2a+a+103＞0，∴5＜a＜193；
（Ⅲ）若b=0，则f（x）=x2（x-a）
∴不等式f(x)x+1nx+1≥0对任意的x∈[12，+∞)恒成立，可化为x+lnxx+1x≥a对任意的x∈[12，+∞)恒成立，
设g（x）=x+lnxx+1x，则g′（x）=x2-lnxx2
设h（x）=x2-lnx，则h′(x)=2x2-1x（x≥12）
令h′（x）＜0，∵x≥12，∴可得12≤x＜22；h′（x）＞0，∵x≥12，∴可得x＞22
∴h（x）在[12，22)上单调递减，在（22，+∞）上单调递增
∴h（x）的最小值为h（22）=12-ln22＞0
∴g′（x）＞0，∴g（x）在x∈[12，+∞)上单调递增
∴g（x）的最小值为g（12）=52-2ln2
∴a≤52-2ln2．
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解析
103考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2（x-a）+bx（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
