已知函数f=ln是实数集R上的奇函数求k的值若函数g=λf+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x

题文

已知函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程lnxf(x)=x2-2ex+m的根的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
则ln（e⁰+k）=0解得k=0，
显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，
因为g（x） 在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0  在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
只需-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤-1），
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
则t+1≤0h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0解得t≤-1
（3）由（1）得f（x）=x
∴方程转化为lnxx=x²-2ex+m，令F（x）=lnxx（x＞0），G（x）=x²-2ex+m  （x＞0），（8分）
∵F'（x）=1-lnxx2，令F'（x）=0，即1-lnxx2=0，得x=e
当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）
当x=e时，F（x）_max=F（e）=1e（10分）
而G（x）=（x-e）²+m-e²   （x＞0）
∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）
当x=e时，G（x）_min=m-e²（12分）
∴当m-e2＞1e，即m＞e2+1e时，方程无解；
当m-e2=1e，即m=e2+1e时，方程有一个根；
当m-e2＜1e，即m＜e2+1e时，方程有两个根；（14分）

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解析

t+1≤0h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|