已知函数f=ax3+bx2+x，导函数为f′．当a=13时，若存在x∈[-3，-1]使得f′＞0成立

题文

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．
（1）当a=13时，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少有一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=13时，f′（x）=x2+2bx+b-13=(x+b)2-b2+b-13，
其对称轴为直线x=-b，当-b≥-2f′(-3)＞0，解得b＜2615，
当-b＜-2f′(-1)＞0，b无解，
所以b的取值范围为(-∞ ， 2615)；（4分）
（2）因为f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′(-13)=b-2a3．
由于a，b不同时为零，所以f′(-13)•f′(-1)＜0，故结论成立．
（3）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因为f′(x)=3(x-33)(x+33)
所以f（x）在(-∞，-33) ， (33，+∞)上是増函数，
在[-33，33]上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，当-1＜t≤-33时，f(t)≥-14t≥0，即t3-t≥-t4，解得-32≤t≤-33；
当-33＜t＜0时，f(t)＞-14t≥0，解得-33＜t＜0；当t=0时，显然不成立；
当0＜t≤33时，f(t)≤-14t＜0，即t3-t≤-t4，解得0＜t≤33；
当t＞33时，f(t)＜-14t＜0，故33＜t＜32．
所以所求t的取值范围是-32≤t＜0或0＜t＜32．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|