题文
已知函数f（x）=2x-12x+1．（1）证明：函数f（x）既是R上的奇函数，也是R上的增函数；
（2）是否存在m使f（2t2-4）+f（4m-2t）＞f（0）对任意t∈[0，1]均成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）显然函数的定义域为R，对任意x∈R，都有f（-x）=2-x-12-x+1=(2-x-1)•2x(2-x+1)•2x=-2x-12x+1=-f（x）所以函数f（x）既是R上的奇函数．
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=2x1-12x1+1-2x2-12x2+1=(2x1-1)(2x2+1)-(2x1-1)(2x2+1)(2x1+1)(2x2+1)=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)
x1x2，∵函数y=2x是R上的增函数，且x1＜x2，∴2x1＜2x2，2x1+1＞0，2x2+1＞0，f（x1）-f（x2）＜0．即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）是R上的增函数；
（2）法一：由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t2-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t2-4）＞-f（4m-2t），即f（2t2-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t2-4＞2t-4m，即2t2-4-2t+4m＞0，令g（t）=2t2-2t+4m-4，t∈[0，1]，抛物线g（t）=2t2-2t+4m-4的开口向上，对称轴是t=
12，且12∈[0，1]，所以g（t）min=g（12）=4m-92，故只需4m-92，＞0即可，解得m＞98．
法二：由（1）知，函数f（x）既是R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2t2-4）+f（4m-2t）＞f（0）可转化为f（2t2-4）＞-f（4m-2t），即f（2t2-4）＞f（2t-4m），
又函数f（x）是R上的增函数，∴2t2-4＞2t-4m，即2t2-4-2t+4m＞0，即m＞-12(t2-t-2)，t∈[0，1]令g（t）=-12(t2-t-2)，抛物线g（t）=-12(t2-t-2)，的开口向下，对称轴是t=12，且12∈[0，1]，所以g（t）max=g（12）=98，故只需m＞98．
存在m＞98．使f（2t2-4）+f（4m-2t）＞f（0）对任意t∈[0，1]均成立．
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解析
2-x-12-x+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x-12x+1．（1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
