题文
已知f（x）=x3-x-35，g（x）=x3+x-35．（1）求证：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，…（1分）∵f（-x）=(-x)3-(-x)-35=-x3-x-35=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．…（4分）
设0＜x1＜x2，f(x1)-f(x2)=15(x31-x-31)-15(x32-x-32)=15(x31-x32)(1+1x31x32)，…（6分）
∵y=x3r上是增函数，故x31＜x32，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
又∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
∴函数f（x）的增区间是（-∞，0）和（0，+∞）．…（10分）
（2）f(4)-5f(2)g(2)=43-4-35-5×23-2-35⋅23+2-35=43-4-35-43-4-35=0，．…（12分）
同理f（9）-5f（3）g（3）=0．猜想：f（x2）-5f（x）g（x）=0 …（14分）
证明：∵f(x2)-5f(x)g(x)=x6-x-65-5×x3-x-35⋅x3+x-35=x6-x-65-x6-x-65=0．
∴等式成立．…（16分）
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解析
(-x)3-(-x)-35考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）=x3-x-35，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
