题文
已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy），且当x＜0时，f（x）＞0；（1）验证函数f（x）=ln1-x1+x是否满足这些条件；
（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明；
（3）若f（-12）=1，试解方程f（x）=-12． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由x+y1+xy＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1），又f（x）+f（y）=ln1-x1+x+ln1-y1+y=ln（1-x1+x•1-y1+y）
=ln1-x-y+xy1+x+y+xy=ln1-x+y1+xy1+x+y1+xy=f（x+y1+xy）
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0
∴1-x1+x＞1
∴ln1-x1+x＞0
故f（x）=ln1-x1+x满足这些条件．
（2）这样的函数是奇函数．
令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
这样的函数是减函数．
∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（x-y1-xy）
当-1＜x＜y＜1时，x-y1-xy＜0，由条件知f（x-y1-xy）＞0，即f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）∵f（-12）=1
∴f（12）=-1
原方程即为2f（x）=-1
即f（x）+f（x）=f（2x1+x2）=f（12）
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∴2x1+x2=12
∴x2-4x+1=0
解得x=2±3
又∵x∈（-1，1）
∴x=2-3
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解析
x+y1+xy考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
