题文
已知函数f（x）=12x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（x∈R+，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若x∈（0，1]时，证明：2[f（x）-2ex]+13e2[2g（x）+e2]≤4x-3恒成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）求导数可得：f'（x）=x+2e，g′（x）=3e2x，设f（x）=12x2+2ex与g（x）=3e2lnx+b的公共点为（x0，y0），则有
12x02+2ex0=3e2lnx0+bx0+2e=3e2x0x0＞0 …（3分）
解得b=-e22．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知g(x)=3e2lnx-e22．
所以2[f（x）-2ex]+13e2[2g（x）+e2]=x2+2lnx．
∴要证x∈（0，1]时，x2+2lnx≤4x-3恒成立，
即证x∈（0，1]时，x2-4x+3+2lnx≤0恒成立．…（8分）
设h（x）=x2-4x+3+2lnx（0＜x≤1），则h′(x)=2(x-1)2x．
∵x∈（0，1]，∴h′（x）≥0（仅当x=1时取等号）．
∴h（x）=x2-4x+3+2lnx在x∈（0，1]上为增函数．…（11分）
∴h（x）max=h（1）=0．
∴x∈（0，1]时，2[f（x）-2ex]+13e2[2g（x）+e2]≤4x-3恒成立．…（12分）
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解析
3e2x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=12x2+2ex，g（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
