已知f=ax2+x-a，a∈R．若不等式f＞x2+x-3a-1对任意实数x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；（2

题文

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞（a-1）x²+（2a+1）x-3a-1对任意实数x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）原不等式等价于x²-2ax+2a+1＞0对任意的实数x∈[-1，1]恒成立，
设g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1
①当a＜-1时，g_min（x）=g（-1）=1+2a+2a+1＞0，得a∈Φ；
②当-1≤a≤1时，gmin(x)=g(a)=-a2+2a+1＞0，得-1-2＜a≤1；
③当a＞1时，g_min（x）=g（1）=1-2a+2a+1＞0，得a＞1；
综上a＞1-2
（3）不等式f（x）＞1即为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0
因为a＜0，所以(x-1)(x+a+1a)＜0，因为 1-(-a+1a)=2a+1a
所以当-12＜a＜0时，1＜-a+1a，解集为{x|1＜x＜-a+1a}；
当a=-12时，（x-1）²＜0，解集为ϕ；
当a＜-12时，1＞-a+1a，解集为{x|-a+1a＜x＜1}

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解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ax2+x-a，a∈R．（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|