设函数f是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g的图象与f的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g=2a-4（x-

题文

设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
①求f（x）的解析式；
②是否存在正整数a，使f（x）的最大值为12？若存在求出a的值，若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），
它关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上，
当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³，
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x³，
又∵f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，
∴f（x）=2ax-4x³，
则f(x)=-2ax+4x3      (-1≤x≤0)2ax-4x3          (0＜x≤1)，
（2）假设存在正整数a，使函数f（x）的最大值为12，
又f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值
令f′（x）=2a-12x²=0，得x=a6(a＞0)，
若ab∈(0，1]，即0＜a≤6时：
x∈(0，a6]，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
x∈(a6，1]，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
则[f(x)]max=f(a6)=2a×a6-4(a6)3＜2a×a6≤12
故此时不存在符合题意的a，
若a6＞1，即a＞6时，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
则f（x）在（0，1]上单调递增，
∴[f(x)]max=f(1)=2a-4 ，
令2a-4=12，得a=8，
综上，存在a=8满足题意．

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解析

-2ax+4x3      (-1≤x≤0)2ax-4x3          (0＜x≤1)

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|