题文
设函数T(x)=2x， 0≤x＜122(1-x)， 12≤x≤1（1）求函数y=T（x2）和y=（T（x））2的解析式；
（2）是否存在实数a，使得T（x）+a2=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（3）定义Tn+1（x）=Tn（T（x）），且T1（x）=T（x），（n∈N*）
①当x∈[ 0 ，116 ]时，求y=T4（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[ i-116 ，i+116 ]时（i∈N*，1≤i≤15），都有T4(x)=T4(i8-x)恒成立．
②若方程T4（x）=kx恰有15个不同的实数根，确定k的取值；并求这15个不同的实数根的和． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数y=T(x2)=2x2x∈ (-22， 22) 2(1-x2)x∈[-1 ， -22]∪[22 ， 1]函数y=(T(x))2=4x2x∈[0 ， 12)4(1-x)2x∈[12 ， 1]…4分
（2）T(x)+a2=2x+a2， 0≤x＜122(1-x)+a2， 12≤x≤1，
T(x+a)=2x+2a，0≤x+a＜122(1-x-a)， 12≤x+a≤1…6分
则当且仅当a2=2a且a2=-2a时，即a=0．
综上可知当a=0时，有T（x）+a2=T（x+a）=T（x）恒成立．…8分
（3）①当x∈[ 0 ，116 ]时，对于任意的正整数j∈N*，1≤j≤3，
都有0≤2jx≤12，故有 y=T4(x)=T3(2x)=T2(22x)=T1(23x)=16x．…13分
②由①可知当x∈[ 0 ，116 ]时，有T4（x）=16x，根据命题的结论可得，
当x∈[ 116，216 ] ⊆[ 016，216 ]时，18-x∈[ 016，116 ] ⊆[ 016，216 ]，
故有T4(x)=T4(18-x)=16(18-x)=-16x+2，
因此同理归纳得到，当x∈[ i16 ，i+116 ]（i∈N，0≤i≤15）时，T4(x)=(-1)i(24x-i-12)+12=24x-i， i 是偶数-24x+i+1，i 是奇数…15分
x∈[ i16 ，i+116 ]时，解方程T4（x）=kx得，x=(2i+1)-(-1)i32-(-1)i2k
要使方程T4（x）=kx在x∈[0，1]上恰有15个不同的实数根，
则必须(2•14+1)-(-1)1432-(-1)142k=(2•15+1)-(-1)1532-(-1)152k解得k=1615
方程的根xn=(2n-1)+(-1)n32+(-1)n2k（n∈N*，1≤n≤15）…17分
这15个不同的实数根的和为：S=x1+x2+…+x14+x15=0+2+4+6+8+10+12+1416-1615+2+4+6+8+10+12+1416+1615=22532．…18分．
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解析
2x2x∈ (-22， 22) 2(1-x2)x∈[-1 ， -22]∪[22 ， 1]考点
据考高分专家说，试题“设函数T(x)=2x，0≤x＜122(1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
