已知函数f=x2+x+a2-3a．如果对任意x∈[1，2]，f＞a2恒成立，求实数a的取值范围；设实数p，q，r满

题文

已知函数f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-16[g(a)-27]，数列{a_n}满足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），试判断a_n+1与a_n的大小，并证明之． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）＞a²，∴x²+（a-3）x-3a＞0，
∴（x-3）（x+a）＞0对x∈[1，2]恒成立，
又∵x-3＜0恒成立，∴x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，
∴a＜-x，又-x∈[-2，-1]，
∴a＜-2．
（2）由△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0得：-1≤a≤3，
不妨设a=p，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：
①p+q+r=3，qr=a²-3a，
②p²+q²+r²=a²+（q+r）²-2pr=a²+（3-a）²-2（a²-3a）=9，
③p³+q³+r³=a³+（q³+r³）=a³+（q+r）[q²-qr+r²]=3a³-9a²+27．
设g（a）=3a³-9a²+27，求导得：g（a）=9a²-18a=9a（a-2），
当a∈[2，3]时，g（a）＞0，g（a）递增；当a∈[0，2]时，g（a）＜0，g（a）递减；
当a∈[-1，0]时，g（a）＞0，g（a）递增，
∴g（a）在[-1，3]上的最小值为min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15．
（3）由（2）得H(a)=-16(3a3-9a2)，
如果a∈（0，1），则H′(a)=3a-32a2=3a(1-12a)＞0，∴H（a）在（0，1）为递增函数，
易知H（a）∈（0，1），∴a₁∈（0，1）⇒a₂∈（0，1），a_n∈（0，1）⇒a_n+1∈（0，1），
又∵an+1-an=-12an3+32an2-an=-12an(an-2)(an-1)＜0，
∴a_n+1＜a_n．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

16

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+（a-3）x+a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|