在平面直角坐标系xOy中，点An满足OA1=(0，1)，且AnAn+1=(1，1)；点Bn满足OB1=(3，0)，且BnBn+1=(3•(23)n，0)，其中n

题文

在平面直角坐标系xOy中，点A_n满足OA1=(0，1)，且AnAn+1=(1，1)；点B_n满足OB1=(3，0)，且BnBn+1=(3•(23)n，0)，其中n∈N^*．
（1）求OA2的坐标，并证明点A_n在直线y=x+1上；
（2）记四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为a_n，求a_n的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N^*都有a_n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知条件得，A1A2=(1，1)，A1A2=OA2-OA1，∴OA2=(1，2)，
∵AnAn+1=(1，1)，∴OAn+1-OAn=(1， 1)
设OAn=(xn，yn)，则x_n+1-x_n=1，y_n+1-y_n=1
∴x_n=0+（n-1）•1=n-1；y_n=1+（n-1）•1=n．
即A_n=（n-1，n）满足方程y=x+1，∴点A_n在直线y=x+1上．
（2）由（1）得A_n（n-1，n），BnBn+1=OBn+1-OBn=(3•(23) n，0)，
设B_n（u_n，v_n），则u₁=3，v₁=0，v_n+1-v_n=0，∴v_n=0，
un+1-un=3•(23)n，逐差累和得，un=9(1-(23)n)，
∴Bn(9(1-(23)n)，0)．
设直线y=x+1与x轴的交点P（-1，0），则an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=12[10-9(23)n+1](n+1)-12[10-9(23)n]na_n=5+(n-2)(23)n-1，n∈N^*．
（3）由（2）a_n=5+(n-2)(23)n-1，n∈N^*
an+1-an=[5+(n-1)(23)n]-[5+(n-2)(23)n-1]=4-n3(23)n-1，
于是，a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅，a₅＞a₆＞a₇＞…
数列{a_n}中项的最大值为a4=a5=5+1627，则P＞51627，即最小的正整数p的值为6，
所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N^*都有a_n＜p成立．

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解析

A1A2

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系xOy中，点An满足OA.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|