题文
已知函数f（x）=-x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+ax有相同极值点，
（i）求实数a的值；
（ii）若对于“x1，x2∈[1e，3]，不等式f(x1)-g(x2)k-1≤1恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=-2x+2x=-2(x+1)(x-1)x（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．
∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1．
（Ⅱ）∵g（x）=x+ax，∴g′（x）=1-ax2．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，
又∵函数f（x）与g（x）=x+ax有相同极值点，
∴x=1是函数g（x）的极值点，
∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．
（ⅱ）∵f（1e）=-1e2-2，f（1）=-1，f（3）=-9+2ln3，
∵-9+2ln3＜-1e2-2＜=1，即f（3）＜f（1e）＜f（1），
∴x1∈[[1e，3]时，f（x1）min=f（3）=-9+2ln3，f（x1）max=f（1）=-1
由（ⅰ）知g（x）=x+1x，∴g′（x）=1-1x2．
当x∈[1e，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．
故g（x）在[1e，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．
∵g(1e)=e+1e，g（1）=2，g（3）=103，
而2＜e+1e＜103，∴g（1）＜g（1e）＜g（3）
∴x2∈[[1e，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=103
①当k-1＞0，即k＞1时，
对于“x1，x2∈[1e，3]，不等式f(x1)-g(x2)k-1≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）-g（x2）]max+1
∵f（x1）-g（x2）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，
∴k≥-2，又∵k＞1，∴k＞1．
②当k-1＜0，即k＜1时，
对于“x1，x2∈[1e，3]，不等式f(x1)-g(x2)k-1≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）-g（x2）]min+1
∵f（x1）-g（x2）≥f（3）-g（3）=-373+2ln3，
∴k≤-343+2ln3．
又∵k＜1，∴k≤-343+2ln3．
综上，所求的实数k的取值范围为（-∞，-343+2ln3]∪（1，+∞）．
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解析
2x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x2+2lnx．（Ⅰ.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
