A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ组成的集合：对任意x∈[1，2]，都有φ∈；存在常数L，使得对任

题文

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=31+x，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）=31+2x，
∵33≤φ（2x）≤35，且1＜33＜35＜2，
∴φ（2x）∈（1，2）满足（1）的条件；
对任意的x₁，x₂∈[1，2]，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|
=|x₁-x₂|•23(1+2x1)2+3(1+2x1)(1+2x1)+3(1+2x2)2，
∵3＜3(1+2x1)2+3(1+2x1)(1+2x2)+3(1+2x2)2，
所以0＜23(1+2x1)2+3(1+2x1)(1+2x1)+3(1+2x2)2＜23，
令23(1+2x1)2+3(1+2x1)(1+2x1)+3(1+2x2)2=L，则0＜L＜1，
可得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，满足（2）的条件
所以φ（x）∈A成立．…（8分）
（Ⅱ）反证法：
设存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），则
由（I）的结论，得|φ（2x₀）-φ（2x0/）|≤L|x₁-x₂|，
得|x₀-x0/|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1，与定义0＜L＜1矛盾，故假设不成立，
可得不存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），
因此如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的．…（13分）

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解析

31+2x

考点

据考高分专家说，试题“A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|