证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

题文

（1）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；
（2）若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：记F（x）=sinx-22x，则F′（x）=cosx-22．
当x∈（0，π4）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，π4]上是增函数；
当x∈（π4，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[π4，1]上是减函数；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥22x…3
记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1＜0，所以H（x）在[0，1]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
综上，22x≤sinx≤x…5
（2）∵当x∈[0，1]时，ax+x²+x32+2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+x32-4（x+2）sin2x2
≤（a+2）x+x²+x32-4（x+2）(24x)2
=（a+2）x，
∴当a≤-2时，不等式ax+x²+x32+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，…9
下面证明，当a＞-2时，不等式ax+x²+x32+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
∵当x∈[0，1]时，ax+x²+x32+2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+x32-4（x+2）sin2x2
≥（a+2）x+x²+x32-4（x+2）(x2)2
=（a+2）x-x²-x32
≥（a+2）x-32x²
=-32x[x-23（a+2）]．
所以存在x₀∈（0，1）（例如x₀取a+23和12中的较小值）满足
ax₀+x02+x032+2（x₀+2）cosx₀-4＞0，
即当a＞-2时，不等式ax+x²+x32+2（x+2）cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-2]．

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解析

22

考点

据考高分专家说，试题“（1）证明：当x∈[0，1]时，22x≤.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|