对任意x∈R，给定区间[k-12，k+12]，设函数f表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．当x∈[-12，12]时，求出f的

题文

对任意x∈R，给定区间[k-12，k+12]（k∈z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内
整数之差的绝对值．
（1）当x∈[-12，12]时，求出f（x）的解析式；当x∈[k-12，k+12]（k∈z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
（2）求f(43)，f(-43)的值，判断函数f（x）（x∈R）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）当e-12＜a＜1时，求方程f(x)-logax=0的实根．（要求说明理由e-12＞12） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当x∈[-12，12]时，
由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，x∈[-12，12]
当x∈[k-12，k+12]（k∈z）时，
由定义知：k为与x最近的一个整数，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-12，k+12]（k∈z）；
（2）f(43)=13，f(-43)=13
判断f（x）是偶函数．
对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足
k-12≤x≤k+12，f（x）=|x-k|，
由k-12≤x≤k+12，可以得出-k-12≤-x≤-k+12，
即-x∈[-k-12，-k+12]，
由（Ⅰ）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），
即f（x）是偶函数．
（3）f(x)-logax=0，即|x-k|-12log_ax=0，
①当x＞1时，|x-k|≥0＞12log_ax，
∴|x-k|-12log_ax=0没有大于1的实根；
②容易验证x=1为方程|x-k|-12log_ax=0的实根；
③当12＜x＜1时，方程|x-k|-12log_ax=0变为1-x-12log_ax=0
设H（x）=12log_ax-（1-x）（12＜x＜1）
则H′（x）=12xlna+1＜12xlne-12+1=-1x+1＜0，
所以当12＜x＜1时，H（x）为减函数，H（x）＞H（1）=0，
所以方程没有12＜x＜1的实根；
④当0＜x≤12时，方程|x-k|-12log_ax=0变为x-12log_ax=0
设G（x）=12log_ax-x（0＜x≤12），显然G（x）为减函数，
∴G（x）≥G（12）=H（12）＞0，
所以方程没有0＜x≤12的实根．
综上可知，当e-12＜a＜1时，方程f(x)-logax=0有且仅有一个实根，实根为1．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“对任意x∈R，给定区间[k-12，k+1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|