题文
已知函数f(x)=4x2-72-x,x∈[0,1],(1)求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)对函数f(x)=4x2-72-x,x∈[0,1],求导,得f′(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2,
令f′(x)=0解得x=12或x=72.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
所以,当x∈(0,12)时,f(x)是减函数;当x∈(12,1)时,f(x)是增函数.
当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[-4,-3].
(II)对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<5(1-a2)≤0,
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],
又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a],
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),
则[1-2a-3a2,-2a]⊃[-4,-3],即1-2a-3a2≤-4①-2a≥-3②,
解①式得a≥1或a≤-53,
解②式得a≤32,
又a≥1,故a的取值范围内是1≤a≤32.
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
4x2-72-x考点
据考高分专家说,试题“已知函数f(x)=4x2-72-x,x∈.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义:
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。
函数的周期性:
(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质:
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。
注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a , b 均不为零,若:
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|4a|