题文
已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f'（x）．（1）当a=13时，若不等式f′(x)＞-13对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当a=13时，f′(x)=x2+2bx+b-13，…（1分）依题意 f′(x)=x2+2bx+b-13＞-13即x2+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b2-4b＜0，解得 0＜b＜1
所以b的取值范围是（0，1）…（4分）
（2）因为f（x）=ax3+bx2+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3-ax，f'（x）=3ax2-a．
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x3-x．…（6分）
∴f（x）在(-∞，-33)，(33，+∞)上是单调递增函数，在[-33，33]上是单调递减函数，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，…（7分）
法一：如图所示，作y=f（x）与y=-t4的图象，若只有一个交点，则
①当-1＜t≤-33时，f(t)≥-14t≥0，即t3-t≥-t4，解得-32≤t≤-33；
②当-33＜t＜0时，f(t)＞-14t≥0，解得-33＜t＜0；③当t=0时，不成立；
④当0＜t≤33时，f(t)≤-14t＜0，即t3-t≤-t4，解得0＜t≤33；
⑤当1≥t＞33时，f(t)＜-14t＜0，解得33＜t＜32；
⑥当t＞1时，1-t4=f(33)⇒t=839.y=-t4…（13分）
综上t的取值范围是-32≤t＜0或0＜t＜32或t=839．…（14分）
法二：作y=f（x）与y=-14x的图知交点横坐标为x=±32，x=0
当x∈[-32，0)∪(0，32)∪{839}时，过y=-14x图象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f（x）都只有唯一交点，当x取其它任何值时都有两个或没有交点．
所以当t∈[-32，0)∪(0，32)∪{839}时，方程f(x)=-14t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根．
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
