题文
函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ） 当x＞0时，求证：f(x)-1≥a(1-1x)；
（Ⅱ） 在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（Ⅲ） 当a=12时，求证：f(2)+f(3)+…+f(n+1)＞2(n+1-n+1）（n∈N*）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（ I）证明：设φ(x)=f(x)-1-a(1-1x)=alnx-a(1-1x)，(x＞0)令φ′(x)=ax-ax2=0，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，
则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．
（ II）由f（x）＞x得alnx+1＞x
即a＞x-1lnx，
令g(x)=x-1lnx，(x＞1)，g′(x)=lnx-x-1x(lnx)2
令h(x)=lnx-x-1x，h′(x)=1x-1x2＞0，
则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0
∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e-1
所以a的取值范围为[e-1，+∞）．
（ III）证明：由第一问得知lnx≥1-1x，则lnn≥1-1n
则f(2)+f(3)+…+f(n+1)=12(ln2+ln3+…+ln(n+1))+n
=ln2+ln3+…+lnn+1+n≥1-12+1-13+…+1-1n+1+n
=2n-2(122+123+…+12n+1)＞2n-2(11+2+12+3+…+1n+n+1)=2(n+1-n+1)．
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
