题文
已知函数f(x)=ax2+1x+c（a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．（I）求函数的解析式
（Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R+，求证：f(a)f(b)≥254
（Ⅲ） 若g（x）=f（x）-x，n∈N*且n≥2，求证：n-12n≤g(22)+g(32)+g(42)+…+g(n2)＜n-1n． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）由函数f(x)=ax2+1x+c（a＞0，c∈R）为奇函数，可得f（-x）=ax2+1-x+c=-f（x）=-ax2+1x+c
∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴f(x)=ax2+1x
再由x＞0时，f(x)=ax2+1x≥2axx=2a，
∵f（x）的最小值为2，得2a=2，⇒a=1，
故f(x)=x2+1x（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）欲证原不等式成立，
需证：(a+1a)•(b+1b)≥254．
因为 a+b=1，即证：ab+2ab-2≥254，
再由a+b=1，a、b∈R+，ab≤(a+b2)2=14，故0＜ab≤14，
令t=ab，考察函数y=t+2t，它在区间（0，14]上是单调减函数，当t=14时，y=338，
∴ab+2ab-2≥254，
从而原不等式成立．…（8分）
（学生用其它方法参照给分）
（Ⅲ）g(x)=1x，需证：n-12n≤122+132+142+…+1n2＜n-1n
一方面：
122+132+142+…+1n2＜11×2+12×3+13×4+…+1(n-1)n=1-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n=n-1n
…（10分）
另一方面：122=12×2×(2-1)1k2=1k•k＞1k•2(k-1)(k＞3)122+132+142+…+1n2≥12(11×2+12×3+13×4+…+1(n-1)n)=12(1-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n)=n-12n
综上n-12n≤122+132+142+…+1n2＜n-1n．
…（14分）
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解析
ax2+1x+c考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax2+1x+c（a＞.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
