已知函数f=x2+bx+c，对任意的x∈R，恒有f′≤f．证明：当x≥0时，f≤2；若对满足题设条件

题文

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．
（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）²；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，求M的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）易知f'（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥b24+1．
于是c≥1，且c≥2b24×1=|b|，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即当x≥0时，f（x）≤（x+c）²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
当c＞|b|时，有M≥f(c)-f(b)c2-b2=c2-b2+bc- b2c2-b2=c+2bb+c，
令t=bc则-1＜t＜1，c+2bb+c=2-1t+1，
而函数g（t）=2-1t+1（-1＜t＜1）的值域（-∞，32）
因此，当c≥|b|时M的取值集合为[32，+∞）．
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此时f（c）-f（b）=-8或0，c²-b²=0，
从而f(c)-f(b)≤32(c2-b2)恒成立．
综上所述，M的最小值为32

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

b24

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|