题文
已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1、x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)判断函数f(x)的奇偶性和单调性;
(2)求f(x)在[-4,4]上的最值;
(3)解关于x的不等式12f(bx2)-f(x)>12f(b2x)-f(b)(b2≠2). 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=0得f(0)=0.再令x1=x,x2=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)为R上的奇函数.
设x1<x2,则x2-x1>0,当x>0时f(x)<0.
∴f(x2-x1)<0
由f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<f(x1)
∴f(x)为R上的减函数.
(2)∵f(x)为R上的减函数
∴f(x)为[-4,4]上是减函数
∴f(x)的最大值为f(-4),最小值为f(4)
最小值f(4)=f(1+3)=f(1)+f(3)=4f(1)=-8
最大值f(-4)=-f(4)=8
(3)∵12f(bx2)-f(x)>12f(b2x)-f(b)
∴12f(bx2-b2x)>f(x-b)
∵f(x2+x2)=2f(x2)∴f(x2)=12f(x)
∴f(bx2-b2x2)>f(x-b)
∴bx2-b2x<2x-2b
∴bx2-(2+b2)x+2b<0,
若b=0,则{x|x>0};若b≠0,则b(x-2b)(x-b)<0
当-2<b<0时,则{x|x<2b或x>b}
当b<-2时,则{x|x<b或x>2b}
当0<b<2时,则{x|b<x<2b}
当b>2时,则{x|2b<x<b}
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解析
12考点
据考高分专家说,试题“已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义:
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。
函数的周期性:
(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质:
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。
注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a , b 均不为零,若:
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|4a|