已知函数f=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值求a、b的值与函数f的单调区间．若对x∈[-1，2]，不等式f＜

题文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由f′(-23)=129-43a+b=0f′(1)=3+2a+b=0解得，a=-12b=-2
f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：
x（-∞，-23）-23（-23，1）1（1，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-23）和（1，+∞），递减区间是（-23，1）．
（2）f(x)=x3-12x2-2x+c，x∈[-1， 2]，
当x=-23时，f（x）=2227+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c²对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

f′(-23)=129-43a+b=0f′(1)=3+2a+b=0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|