题文
设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．
（3）解关于x的不等式12f(bx2)-f(x)＞12f(b2x)-f(b)（b≤0）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），从而f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
从而f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．…（4分）
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1-x2＜0，从而f（x1-x2）＜0，
又f（x1-x2）=f[x1+（-x2）]=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）．
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）为R上的增函数，
∴当x∈[-4，4]时，f（x）必为增函数．
又由f（-1）=-2，得-f（1）=-2，
∴f（1）=2，
∴当x=-4时，f（x）min=f（-4）=-f（4）=-4f（1）=-8；
当x=4时，f（x）max=f（4）=4f（1）=8． …（9分）
（3）由已知得12[f(bx2)-f(b2x)]＜f(x)-f(b)．
∴12f(bx2-b2x)＞f(x-b)．
∴f（bx2-b2x）＞2f（x-b），即f（bx2-b2x）＞f（2x-2b）．
∵f（x）为R上增函数，
∴bx2-b2x＞2x-2b，
∴bx2-（b2+2）x+2b＞0，即（bx-2）（x-b）＞0．
当b=0时，-2x＞0，
∴不等式的解集为{x|x＜0}．
当b＜0时，（-bx+2）（x-b）＜0．
1°当-2＜b＜0时，不等式的解集为{x| 2b＜x＜b }，
2°当b＜-2时，不等式的解集为 {x| b＜x＜2b}，
3°当b=-2时，不等式的解集为∅．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
