题文
设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=xax+1（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N*，求证：e2n-n
k=14k+1≤n!≤en(n-1)2（其中e是自然对数的底数）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵f（x）=1-e-x，∴f′（x）=-e-x•（-1）=e-x，函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe-x，
∴h′（x）=（1-x）•e-x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
故该函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=1e．（4分）
（Ⅱ）由题1-e-x≤xax+1在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1-e-x∈[0，1），∴xax+1≥0，
若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞-1x恒成立，则a≥0．
不等式1-e-x≤xax+1恒成立等价于（ax+1）（1-e-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，（6分）
令μ（x）=（ax+1）（1-e-x），则μ′（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，
又令v（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，
则v′（x）=e-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．
①当a=0时，v′（x）=-e-x＜0，
则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②当a≥0时，v′(x)=-a•e-x(x-2a-1a)．
ⅰ）若2a-1≤0，即0＜a≤12时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（8分）
ⅱ）若2a-1＞0，即a＞12时，若0＜x＜2a-1a时，
v′（x）＞0，则v（x）在（0，2a-1a）上单调递增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，2a-1a）上也单调递增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．（9分）
综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，12]．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=12时，则1-e-x≤x12x+1，
∴e-x≥2-x2+x，
当x∈[0，2）时，e-x≥2-x2+x，∴x≤ln2+x2-x，
令2+x2-x=n，则x=2n-2n+1=2-4n+1，
∴lnn≥2-4n+1(n∈N*)，∴n
k=1lnk≥2n-n
k=14k+1，
∴ln(n!)≥2n-n
k=14k+1，（12分）
又由（Ⅰ）得h（x）≤h（1），即xe-x≤1e，当x＞0时，ln(xe-x)≤ln1e=-1，∴lnx≤x-1，
ln（n!）=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+（n-1）=n(n-1)2，
综上得2n-n
k=14k+1≤ln（n!）≤n2-n2，
即e2n-n
k=14k+1≤n!≤en(n-1)2．（14分）
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解析
1e考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=1-e-x，函数g(x).....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
