题文
已知定义在（-1，1）上的函数f（x），满足f(12)=1，并且∀x，y∈（-1，1）都有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)成立，对于数列{xn}，有x1=12，xn+1=2xn1+x2n．（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求数列{f（xn）}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{f（xn）}，证明：n2-56＜f(x1)-1f(x2)-1+f(x2)-1f(x3)-1+…+f(xn)-1f(xn+1)-1＜n2（n∈N*）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0∴f（x）在（-1，1）上为为奇函数．
（2）由x1=12，xn+1=2xn1+x2n易知0＜xn＜1
∵f（xn）-f（-xn）=f(2xn1+xn2)且f（x）且f（x）在（-1，1）上为奇函数
∴f（xn+1）=2f（xn），f（x1）=1
∴f（xn）是以1为首项，2为公比的等比数列
∴f（xn）=2n-1
（3）f(x1)-1f(x2)-1+f(x2)-1f(x3)-1+…+f(xn)-1f( xn+1)-1=02-1+2-122-1+…+2n-1-12n+1-1 ＜12+12+…+12=n2
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知定义在（-1，1）上的函数f（x），.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
