已知函数f=12ax2-x+2lnx．求f的单调区间；设g=x2-2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2

题文

已知函数f（x）=12ax2-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ） 求f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f/(x)=ax-(2a+1)+2x=(x-2)(ax-1)x
当a=0时，单调增区间为（0，2），单调减区间为（2，+∞）；
当0＜a＜12时，单调减区间为（2，1a），单调增区间为（0，2），（1a，+∞)；
当a=12时，单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，单调增区间为 （0，2），单调减区间为 （2，+∞）
或a＞12时，单调减区间为（0，1a），（2，+∞）；单调增区间为(1a，2)；
（Ⅱ） 由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max．
由x∈（0，2]，得到g（x）_max=g（2）=0，
由（Ⅰ）知当a=0时，不成立；当a＞0时，f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，∴a＞-1+ln2

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=12ax2-（2a+1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|