题文
已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）试用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+12+13+…+1n＞ln（n+1）+n2(n+1)（n≥1）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f(x)=ax+bx+c(a＞0)，∴f′(x)=a-bx2⇒f′(1)=a-b=1⇒b=a-1
∴f（1）=a+a-1+c=2a-1+c．
又∵点（1，f（1））在切线y=x-1上，
∴2a-1+c=0⇒c=1-2a，
∴b=a-1c=1-2a．
（2）∵f(x)=ax+a-1x+1-2a(a＞0)，
f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
设g（x）=f（x）-lnx，则g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴g（x）min≥0，
又∵g′(x)=a-a-1x2-1x=a(x2-1)-(x-1)x2=a(x-1)(x-1-aa)x2，
而当1-aa=1时，a=12．
1°当1-aa≤1即a≥12时，
g'（x）≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴g(x)min=g(1)=2a-1≥0⇒a≥12；
2°当1-aa＞1即0＜a＜12时，
g'（x）=0时x=1-aa；
且1≤x＜1-aa时，g'（x）＜0，
当x＞1-aa时，g'（x）＞0；
则g(x)min=g(1-aa)≥0①，
又∵g(1-aa)≤g(1)=2a-1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．
∴综上所述，a的取值范围为：[12，+∞）．
（3）证明：由（1）可知a≥12时，f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
则当a=12时，12(x-1x)≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
令x依次取21，32，43，54，65…n+1n时，
则有12×(21-12)≥ln21，12×(32-23)≥ln32，
…
12×(n+1n-nn+1)≥lnn+1n，
由同向不等式可加性可得
12[(21+32+43+…+n+1n)-(12+23+34+…+nn+1)]≥ln(n+1)，
即12[(1+12+13+…+1n+n)-(n-12-13-14-…-1n+1)]≥ln(n+1)，
也即12[2(1+12+13+…+1n)+1n+1-1]≥ln(n+1)，
也即1+12+13+…+1n＞ln（n+1）+n2(n+1)（n≥1）．
解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+14＜1，不等式成立；
②假设n=k时，不等式成立，就是1+12+13+…+1k＞ln（k+1）+k2(k+1)（k≥1）．
那么1+12+13+…+1k+1k+1＞ln（k+1）+k2(k+1)+1k+1
=ln（k+1）+k+22(k+1)．
由（2）知：当a≥12时，有f（x）≥lnx （x≥1）
令a=12有f（x）=12(x-1x)≥lnx （x≥1）
令x=k+2k+1得12(k+2k+1-k+1k+2)≥lnk+2k+1=ln(k+2)-ln(k+1)
∴ln(k+1)+k+22(k+1)≥ ln(k+2)+k+12(k+2)
∴1+12+13+…+1k+1k+1＞ln(k+2)+k+12(k+2)
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．
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解析
bx考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
