已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14an(n∈N×)，数列{cn}满足cn=an•bn．求证：{bn}是等

题文

已知数列{a_n}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14an(n∈N×)，数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若Cn≤14m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，a_n=（14）ⁿ．
∵bn+2=3log14an，b1+2=3log14a1
∴b₁=1
∴b_n+1-b_n=3log14a_n+1=3log14a_n=3log14an+1a n=3log14q=3
∴数列{b_n}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，a_n=（14）ⁿ．b_n=3n-2
∴C_n=（3n-2）×（14）ⁿ．
∴S_n=1×14+4×（14）²+…+（3n-2）×（14）ⁿ，
于是14S_n=1×（14）²+4×（14）³+…（3n-2）×（14）ⁿ⁺¹，
两式相减得34S_n=14+3×[（14）²+（14）³+…+（14）ⁿ）-（3n-2）×（14）ⁿ⁺¹，
=12-（3n-2）×（14）ⁿ⁺¹，
∴S_n=23-12n+83×（14）ⁿ⁺¹
（3）∵C_n+1-C_n=（3n+1）×（14）ⁿ⁺¹-（3n-2）×（14）ⁿ=9（1-n）×（14）ⁿ⁺¹，
∴当n=1时，C₂=C₁=14
当n≥2时，C_n+1＜C_n，即C₂=C₁＞C₃＞C₄＜…＞C_n
∴当n=1时，C_n取最大值是14
又Cn≤14m2+m-1
∴14m2+m-1≥14
即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．

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解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为a1=14，公比.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|