题文
已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f'（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即对任意实数x，有a（-x）3+（3a+1）（-x）2+（b+2）（-x）+b=-[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得a=-13，b=0，因此f（x）的解析表达式为f(x)=-13x3+x2．
（2）由（Ⅰ）知g(x)=-13x3+2x，
所以g'（x）=-x2+2，令g'（x）=0
解得x1=-2，x2=2
则当x＜-2或x＞2时，g'（x）＜0
从而g（x）在区间(-∞，-2]，[2，+∞)上是减函数，
当-2＜x＜2时，g′(x)＞0，
从而g（x）在区间[-2，2]上是增函数，
由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x=1，2，2时取得，
而g(1)=53，g(2)=423，g(2)=43，
因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为g(2)=423，最小值为g(2)=43．
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
