已知函数f=x2-alnx，g=bx-x+2，其中a，b∈R且ab=2．函数f在[14，1]上是减函数，函数g在[14，1]上是增函数．

题文

已知函数f（x）=x²-alnx，g（x）=bx-x+2，其中a，b∈R且ab=2．函数f（x）在[14，1]上是减函数，函数g（x）在[14，1]上是增函数．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）若不等式f（x）≥g（x）对x∈[14，1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）求函数h（x）=f（x）+g（x）-12x的最小值，并证明当n∈N^*，n≥2时f（n）+g（n）＞3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求导函数可得f′（x）=2x-ax
∵函数f（x）在[14，1]上是减函数，∴对任意的x∈[14，1]，f′（x）≤0恒成立，所以a≥2x²，所以a≥2；
同理可得b≥1；
∵ab=2，∴a=2，b=1；
∴f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-x+2；
（2）∵f（1）=1＞0，g（14）=74＞0，且函数f（x）在[14，1]上是减函数，函数g（x）在[14，1]上是增函数．
∴x∈[14，1]时，f（x）＞0，g（x）＞0，∴m≤f(x)g(x)，
∵(f(x)g(x))′＜0，∴f(x)g(x)在[14，1]上是减函数，
∴m≤f(1)g(1)=12；
（3）h（x）=f（x）+g（x）-12x=x²-2lnx+12x-x+2，则h′（x）=(x-1)[2(x+1)(x+1)x+x+12x]，当x＞0时，2(x+1)(x+1)x+x+12x＞0，∴当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴x=1时，函数取得最小值h（1）=52；
证明：当n≥2时，h（n）≥h（2）=7-2ln2-2＞3，∴h（n）＞3，
∴n∈N^*，n≥2时f（n）+g（n）＞3+n2＞3成立．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-alnx，g（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|