题文
（A类）定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2（1）求f（0）、f（-1）的值； （2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B类）已知定义在R上的奇函数f(x)= -2x+b2x+1+a．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-32＜f(x)＜m2+2km+k+52对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；
（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解． 题型：未知 难度：其他题型
答案
A类（1）在f（a+b）=f（a）•f（b）中
令a=1，b=0，则有：f（1）=f（1）•f（0）
因为当x＞0时，有f（x）＞1，所以f（1）＞1，∴f（0）=1 …（2分）
令a=1，b=-1，则f（0）=f（1）•f（-1），得出f（-1）=f(0)f(1)=12 …（4分）
（2）任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）
=f（x2-x1）•f（x1）-f（x1）=f（x1）（f（x2-x1）-1）．
由于0＜x1＜x2，所以f（x1）＞1，f（x2-x1）-1＞0
所以f（x2）-f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）．
y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）∵f（1）=2
∴f（2）=f（1）•f（1）=4
由已知，当x＜0时，
f（0）=f（x）f（-x）=1，得出f（x）=1f(-x)＜1．…（10分）
故①．当x+1＜0即x＜-1时，f（x+1）＜1＜4不等式恒成立． …（11分）
②．当x+1=0即x=-1时，f（x+1）=1＜4 …（12分）
③．当x+1＞0即x＞-1时，由（2）知道须x+1＜2，解得-1＜x＜1 …（13分）
综上：不等式f（x+1）＜4的解集为{x|x＜1}．…（14分）
B类：
（1）由f（0）=0，得b=1，f（-1）=-f（1），得a=2
（2）f(x)=-2x+12x+1+2=-12+12x+1 得出-12 ＜f（x）＜12 …（5分）
即-m2+(k+2)m-32≤-12m2+2km+k+52≥12 对m∈R恒成立，即
m2-(k+2)m+1≥ 0m2+2km+k+2≥0 对m∈R恒成立 …（7分）
∴△=(k+2)2-4≤0△=(2k)2-4(k+2)≤0 …（9分）
解得-1≤k≤0 …（10分）
（3）x∈（-1，1），而g（x）=f（x）-x=-12+12x+1-x在（-1，1）内单减．
且g（0）=0，故在（-1，1）内，g（x）=0有唯一的根x=0，又g（x）周期为2，对k∈Z，
g（x+2k）=g（x），所以在（2k-1，2k+1）内有唯一根x=2k
由g（-1）=g（-1+2）得-g（1）=g（1），g（1）=0
应有g（2k+1）=0，即还有解x=2k+1，
综上：g（x）=0 的所有解为x=k（k∈Z）
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解析
f(0)f(1)考点
据考高分专家说，试题“（A类）定义在R上的函数y=f（x），对.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
