已知奇函数f(x)=logabx+1x-1，求b的值；对于x∈[2，4]f(x)＞logam(x-1)2(7-x)恒成立，求m的

题文

已知奇函数f(x)=logabx+1x-1，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）对于x∈[2，4]f(x)＞logam(x-1)2(7-x)恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）当n≥4，且n∈N^*时，试比较a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}与2ⁿ-2的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由f(x)=logabx+1x-1，f(-x)=loga-bx+1-x-1=logabx-1x+1f(x)+f(-x)=logabx+1x-1+logabx-1x+1=logab2x2-1x2-1=0
∴b2x2-1x2-1=1恒成立，b²=1，b=±1经检验b=1
（Ⅱ）由x∈[2，4]时，f(x)=logax+1x-1＞logam(x-1)2(7-x)恒成立，
①当a＞1时
∴x+1x-1＞m(x-1)2(7-x)＞0对x∈[2，4]恒成立
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
则g（x）=-x³+7x²+x-7g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-73)2+523
∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0
∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15
∴0＜m＜15
②当0＜a＜1时
由x∈[2，4]时，f(x)=logax+1x-1＞logam(x-1)2(7-x)恒成立，
∴x+1x-1＜m(x-1)2(7-x)对x∈[2，4]恒成立
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_max=g（4）=45
∴m＞45
综上，当a＞1时，0＜m＜15；
当0＜a＜1时，m＞45
（Ⅲ）∵f(2)+f(3)++f(n)=loga3+loga42+loga53++logann-2+logan+1n-1=loga(3×42×53××nn-2×n+1n-1)=logan(n+1)2
∴af(2)+f(3)++f(n)=n(n+1)2
当n=2时，n(n+1)2=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2
当n=3时，n(n+1)2=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2
当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=n(n+1)2＜2ⁿ-2
下面证明：当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=n(n+1)2＜2ⁿ-2
当n≥4时，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1＞n+n(n-1)2+n=n2+3n2＞n(n+1)2
∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=n(n+1)2＜2ⁿ-2
h(4)=4×52-24+2=-4＜0n≥4时，n(n+1)2-2n+2＜0，即n(n+1)2＜2ⁿ-2
∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=n(n+1)2＜2ⁿ-2．

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解析

bx+1x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知奇函数f(x)=logabx+1x-.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|