已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．求f在[0，1]上的最大值；若对任意的实数x∈[16，12]，不等式|a-lnx|+ln[f'

题文

已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数x∈[16，12]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f′(x)=32+3x-3x=-3(x+1)(3x-1)3x+2，令f'（x）=0，得x=13或x=-1（舍）
当0≤x＜13时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当13＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f(13)=ln3-16是函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞-ln32+3x对x∈[16，12]恒成立
若ln32+3x＞0即x∈[16，13 )恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得a＞lnx-ln32+3x或a＜lnx+ln32+3x
设h(x)=lnx-ln32+3x= ln2x+3x23；g(x)=lnx+ln32+3x= ln32+3x
依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[13，12]恒成立
∵g′(x)=2x(2+3x)＞0，h′(x)=2+6x2x+3x2＞0
∴g（x），h（x）都在[13，12]上递增
∴a＞h(12)或a＜g(13)
即a＞ln712或a＜ln13
（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-32x2+2x-b=0，
令ϕ(x)=ln(2+3x)-32x2+2x-b，则ϕ′(x)=32+3x-3x+2=7-9x22+3x
当x∈[0，73]时，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在[0，73]上递增；当x∈[73，1]时，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在[73，1]上递减，而ϕ(73)＞ϕ(0)，ϕ(73)＞ϕ(1)∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于ϕ(0)=ln2-b≤0ϕ(73)ln(2+7)-76+273-b＞0ϕ(1)=ln5+12-b≤0，解得ln5+12≤b＜ln(2+7)-76+273

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解析

32+3x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ln(2+3x)-32.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|