已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时都取得极值．求a，b的值；若x∈[-1，2]，都有f-c2＜0成立，求c的取值范围．

题文

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c²＜0成立，求c的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知，f'（x）=3x²+2ax+b，∵在x=1与x=-23时取极值，
∴f′(1)=0f′(23)=0即3+2a+b=03×(-23)2+2a×(-23)+b=0
解得a=-12，b=-2，故a，b的值为：-12，-2
（Ⅱ）（解法一）由（I）知f(x)=x3-12x2-2x+c．由f(x)-c2＜0得：x3-12x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
设g(x)=x3-12x2-2x(x∈[-1，2])，g′(x)=3x2-x-2．…（8分）
由g′(x)=0得，x=-23或x=1．，g(-1)=12，g(-23)=2227，g(1)=-32，g(2)=2．…（10分）
∴[g（x）]_max=2，∴2＜c²-c解得，c＜-1或c＞2．，
∴c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（解法二）由（I）知f(x)=x3-12x2-2x+c．，∴f'（x）=3x²-x-2．…（8分）
①当x∈[-1，-23)时，f′(x)＞0；②当x∈[-23，1)时，f′(x)＜0；
③当x∈[1，2]时，f′(x)＞0；∴当x=-23时，f(x)有极大值2227+c．
而f(-1)=12+c，f(2)=2+c，…（10分）
∴当x∈[1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．
对x∈[1，2]，f(x)＜1x恒成立∴2+c＜c2，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．…（12分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|