定义在R上的偶函数y=f满足：①对x∈R都有f=f+f②f=-1；③当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有f(x1)-

题文

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）
②f（-5）=-1；
③当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0则
（1）f（2009）=______；
（2）若方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，（1）因为y=f（x）是R上的偶函数，所以f（x）=f（-x），因为f（x+6）=f（x）+f（3），
所以f（-x+6）=f（-x）+f（3）=f（x）+3=f（x+6），所以f（x）关于x=6对称，
因为f（6-x）=f（6+x），所以f（-x）=f（x+12）=f（x），所以f（x）是以12为周期的函数，
∴f（2009）=f（5）=f（-5）=-1；
 （2）根据当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0，可知函数在[0，3]上单调递增
又f（x）为偶函数，故在[-3，0]上为减函数．
令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0
因为f（x+6）=f（x）+f（3），所以f（3）=f（-3）+f（3）=0，f（x）关于x=6对称，所以f（9）=0，因为y=f（x）是R上的偶函数，f（-9）=0，f（-3）=0，因 为f（x）在[0，3]上是增函数，所以[0，3]上只有一解为3，对称性[-3，0]只有一解为-3，因为f（x+6）=f（x）+f（3），且f（x）在[0，3]上是增函数，所以f（x）在[6，9]上是增函数，所以[6，9]上只有一解为9，因为f（x）关于x=6对称，所以f（x）在[3，6]上只有一解为3，由对称性知[-9，-6]，[-6，-3]各只有一解-9，-3，
要使方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，则a＞-9，6-a≤9
∴实数a的取值范围是（-9-3]
故答案为-1，（-9-3]

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解析

f(x1)-f(x2)x1-x2

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的偶函数y=f（x）满足：①对.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|