题文
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，且f（1）=2，f（2）=10，（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在R上是增函数；
（3）若关于x的不等式f（x2-4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x）即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx
∴2bx2=0对于任意x都成立
即b=0
∵f(1)=2，f(2)=10 ∴a+c=28a+2c=10解得a=c=1
∴函数的解析式是f（x）=x3+x 5分
（2）证明：设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1＜x2，
则△y=f（x2）-f（x1）=x23+x2-x13-x1=（x2-x1）（x22+x1x2+x12）+（x2-x1）
=(x2-x1)(x22+x 1x2+x21+1)=(x2-x1)[(x2+x 12)2+3x214+1]
∵x2-x1＞0，(x2+x 12)2+3x214+1＞0∴△y＞0
∴函数f（x）在R上是增函数 （10分）
（3）∵f（x2-4）+f（kx+2k）＜0
∴f（x2-4）＜-f（kx+2k）=f（-kx-2k）
又因为f（x）是增函数，即x2-4＜-kx-2k
∴x2+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立．（12分）
法（一）令g（x）=x2+kx+2k-4，x∈（0，1）
则g(0)=2k-4≤0g(1)=3k-3≤0 解得k≤1
∴k的取值范围是（-∞，1]14分
法（二）上式可化为k（x+2）＜4-x2
∵x∈（0，1）即x+2＞0∴k＜4-x2x+2=2-x
令U（x）=2-x，x∈（0，1）
∵U（x）=2-x在（0，1）上是减函数
∴U（x）＜1即k≤1．（14分）
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解析
a+c=28a+2c=10考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
