题文
已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．（Ⅰ）求证：m2+n2=0是f（x）是奇函数的充要条件；
（Ⅱ）若常数n=-4且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解（I）充分性：若m2+n2=0，则m=n=0，∴f（x）=x|x|，又有f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）为奇函数．
必要性：若f（x）为奇函数，∵x∈R，
∴f（0）=0，即n=0，∴f（x）=x|x+m|
由f（1）=-f（-1），有|m+1|=|m-1|，∴m=0．
∴f（x）为奇函数，则m=n=0，即m2+n2=0．
∴m2+n2=0是f（x）为奇函数的充要条件．
（Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；
若x∈（0，1]时，原不等式可变形为|x+m|＜-nx．即-x+nx＜m＜-x-nx．
∴只需对x∈（0，1]，满足m＜(-x--4x)min①m＞(-x+-4x)max②
对①式f1(x)=-x+4x在（0，1]上单调递减．
∴m＜f1（1）=3．③
对②式，设f&2(x)=-x-4x，根据单调函数的定义可证明f2（x）在（0，1]上单调递增，
∴f2（x）max=f（1）．
∴m＞f2（1）=-5．④
由③④知-5＜m＜3．
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解析
nx考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
