已知数列{an}中，已知a1=1，an+1=an1+2an，求证数列{1an}是等差数列；求数列{an}的通项公式；若对一切n∈N*，等式a1

题文

已知数列{a_n}中，已知a₁=1，an+1=an1+2an，
（1）求证数列{1an}是等差数列；  
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对一切n∈N^*，等式a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=2ⁿ恒成立，求数列{b_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由an+1=an1+2an，
得a_n+1+2a_na_n+1=a_n，
即a_n-a_n+1=2a_na_n+1
两边同除以a_na_n+1，
得，1an+1-1an=2，
又1a1=1，
所以数列{1an}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）1an=1+2(n-1)=2n-1，
所以数列{a_n}的通项公式an=12n-1
（3）因为对一切n∈N^*，
有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=2ⁿ①
所以当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=2^n-1②
①-②得，当n≥2时，
a_nb_n=2^n-1，
又an=12n-1，
所以b_n=（2n-1）2^n-1
又n=1时，a₁b₁=2¹，a₁=1，
所以b₁=2；
综上得bn=2，&n=1(2n-1)•2n-1，n≥2．

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解析

an1+2an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，已知a1=1，an+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|