已知奇函数g(x)=ax+bx2+a(a∈N*，b∈R)的定义域为R，且恒有g(x)≤12．求a，b的值；写出函数y=g在[-1，1]上的单调

题文

已知奇函数g(x)=ax+bx2+a(a∈N*，b∈R)的定义域为R，且恒有g(x)≤12．
（1）求a，b的值；
（2）写出函数y=g（x）在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）讨论关于x的方程g（x）-t=0（t∈R）的根的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵g（x）为奇函数且函数的定义域为R，
∴a＞0且g（0）=ba=0
∴b=0，故有g（x）=axx2+a
∵g(x)≤12恒成立即axx2+a≤12恒成立
整理可得，x²-2ax+a≥0恒成立
∴△=4a²-4a≤0
解可得，0＜a≤1
∵a∈N^*
∴a=1
（2）g（x）在[-1，1]上单调递增，证明如下
z证明：由（1）可得，g（x）=xx2+1，x∈[-1，1]
设0≤x₁＜x₂≤1
则g（x₁）-g（x₂）=x1x12+1-x2x22+1
=x1(x22+1)-x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)
=(x1-x2)(1-x1x2)(x12+1)(x22+1)
∵0≤x₁＜x₂≤1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+x22＞0
则g（x₁）-g（x₂）=(x1-x2)(1-x1x2)(x12+1)(x22+1)＜0
即g（x₁）＜g（x₂）
∴g（x）在[0，1]上单调递增
根据奇函数对称区间上的单调性一致可知，且g（0）=0，则可得g（x）在[-1，0）上单调递增
综上可得，g（x）在[-1，1]上单调递增
（3）由（2）可得，-12≤g(x)≤12
①当t＞12或t＜-12时，方程g（x）-t=0没有实数根
②当-12≤t≤12时，方程g（x）-t=0有1根实数根

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解析

ba

考点

据考高分专家说，试题“已知奇函数g(x)=ax+bx2+a(a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|