设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠0)的图象过点且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P是函数y=f图象上任意一点，过点

题文

设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x₀，y₀）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂足分别是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心Q；
（3）证明：线段PM，PN长度的乘积PM•PN为定值；并用点P横坐标x₀表示四边形QMPN的面积．． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=ax+1x+b（a≠0）的图象过点（0，-1）
∴f（0）=-1得b=-1
所以f（x）=ax+1x+1，（2分）
∵f（x）的图象与直线y=-1有且只有一个公共点
∴-1=ax+1x+1只有一解即x[ax+（a-1）]=0只有一解∴a=1
∴f（x）=x+1x-1（4分）
（2）证明：已知函数y₁=x，y₂=1x都是奇函数．
所以函数g（x）=x+1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而f（x）=x-1+1x-1+1
可知，函数g（x）的图象向右、向上各平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点Q（1，1）为中心的中心对称图形．（9分）
（3）证明：∵P点(x0，x0+1x0-1)
过P作PA⊥x轴交直线y=1于A点，交直线y=x于点B，
则QA=PN=AB=x₀-1，QB=2(x0-1)．
PA=y_P-1=x₀-1+1x0-1，∴PB=PA-AB=1x 0-1，
∴PM=BM=22PB=12(x0-1)．
∴PM•PN=12(x0-1)．（x₀-1）=22为定值．（13分）
连QP；∵QM=QB+BM=2(x0-1)+12(x0-1)，
∴S_△QMP=12QM×PM=12×
[2(x0-1)+12(x0-1)].12(x0-1)=12+14(x0-1)2
又S_△QNP=12NP×PA=12（x₀-1）．（x₀-1+1x0-1）=12(x0-1)2+12
∴S_QMPN=12(x0-1)2+12+12+14(x0-1)2=12(x0-1)2+14(x0-1)2+1（16分）

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解析

1x+b

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f(x)=ax+1x+b(a≠.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|